Halo sahabat Simak UI

Soal Fungsi komposisi invers adalah konsep dasar dalam matematika, terutama dalam bidang aljabar dan kalkulus. Memahami cara kerja fungsi-fungsi ini penting untuk berbagai aplikasi matematika, termasuk pemecahan persamaan, analisis fungsi, dan transformasi data. Artikel ini akan menjelaskan apa itu fungsi komposisi, fungsi invers, serta bagaimana keduanya dapat berinteraksi dalam bentuk fungsi komposisi invers.

Baca juga:    bimbel sbmptn 

Fungsi komposisi

Sumber: Freepik

Fungsi komposisi adalah kombinasi dari dua fungsi yang menghasilkan fungsi baru. Jika kita memiliki dua fungsi 𝑓(𝑥)f(x) dan 𝑔(𝑥)g(x), maka fungsi komposisi dari 𝑓f dan 𝑔g dinyatakan sebagai (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x) atau 𝑓 (𝑔(𝑥))f(g(x)). Dengan kata lain, pertama-tama kita menerapkan fungsi 𝑔g pada 𝑥x, kemudian hasilnya kita gunakan sebagai input untuk fungsi 𝑓f.

Contoh sederhana: Misalkan 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 dan 𝑔(𝑥)=𝑥2g(x)=x2. Jadi, komposisi (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x) adalah: 𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥2)=2(𝑥2)+3f(g(x))=f(x2 )=2(x2)+3

Baca juga:  bimbel utbk 

Fungsi Invers

Sumber: Freepik

Fungsi invers adalah fungsi yang “membalikkan” efek dari fungsi asli. Jika 𝑓f adalah sebuah fungsi, maka fungsi inversnya, dinyatakan sebagai 𝑓−1f−1, memiliki sifat bahwa 𝑓(𝑓−1(𝑥))=𝑥f(f−1(x))=x dan 𝑓−1(𝑓(𝑥 ))=𝑥f−1(f(x))=x. Dengan kata lain, jika 𝑓f mengubah 𝑥x menjadi 𝑦y, maka 𝑓−1f−1 mengubah 𝑦y kembali menjadi 𝑥x.

Contoh: Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3, untuk menemukan inversnya kita harus menyelesaikan persamaan 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 untuk 𝑥x: 𝑦=2𝑥+3y=2x+3 𝑦−3 =2𝑥y−3=2x 𝑥=𝑦−32x=2y−3​ Jadi, 𝑓−1(𝑥)=𝑥−32f−1(x)=2x−3​.

Fungsi komposisi Invers

Fungsi komposisi invers adalah konsep yang menggabungkan kedua konsep di atas. Misalkan kita memiliki dua fungsi 𝑓f dan 𝑔g yang keduanya dapat dibalik, maka invers dari komposisi 𝑓f dan 𝑔g dapat dinyatakan sebagai: (𝑓∘𝑔)−1(𝑥)=𝑔−1(𝑓−1(𝑥))(f∘g )−1(x)=g−1(f−1(x))

Ini berarti untuk menemukan invers dari komposisi dua fungsi, kita harus membalik urutan fungsi dan menemukan invers masing-masing terlebih dahulu.

Contoh: Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 dan 𝑔(𝑥)=𝑥2g(x)=x2, maka 𝑓−1(𝑥)=𝑥−32f−1(x)=2x− 3​ dan 𝑔−1(𝑥)=𝑥g−1(x)=x​ (dengan asumsi kita hanya mengambil akar positif untuk kejelasan).

Untuk menemukan invers dari komposisi (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x):

(𝑓∘𝑔)−1(𝑥)=𝑔−1(𝑓−1(𝑥))(f∘g)−1(x)=g−1(f−1(x)) 𝑔−1(𝑓− 1(𝑥))=𝑔−1(𝑥−32)g−1(f−1(x))=g−1(2x−3​) =𝑥−32=2x−3​​

Dalam matematika, konsep fungsi adalah salah satu dasar yang sangat penting dan memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Salah satu konsep yang lebih lanjut dari fungsi adalah fungsi komposisi dan fungsi invers.

Fungsi komposisi melibatkan penggabungan dua atau lebih fungsi, sementara fungsi invers berkaitan dengan menemukan fungsi yang ‘membalikkan’ efek dari fungsi asli. Penerapan fungsi komposisi invers tidak hanya relevan dalam teori tetapi juga dalam berbagai aplikasi praktis.

Baca juga:   les privat

Hubungan antara Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Sumber: Freepik

Hubungan antara fungsi komposisi dan fungsi invers sangat erat. Jika 𝑓f memiliki fungsi invers 𝑓−1f−1, maka komposisi dari 𝑓f dan 𝑓−1f−1 akan menghasilkan fungsi identitas. Secara matematis: 𝑓(𝑓−1(𝑥))=𝑥f(f−1(x))=x 𝑓−1(𝑓(𝑥))=𝑥f−1(f(x))=x

Fungsi identitas 𝐼(𝑥)I(x) adalah fungsi yang mengembalikan elemen itu sendiri, yaitu 𝐼(𝑥)=𝑥I(x)=x.

Contoh:

Misalkan 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 dan 𝑓−1(𝑥)=𝑥−32f−1(x)=2x−3​:

𝑓(𝑓−1(𝑥))=𝑓(𝑥−32)=2(𝑥−32)+3=𝑥−3+3=𝑥f(f−1(x))=f(2x−3​)= 2(2x−3​)+3=x−3+3=x 𝑓−1(𝑓(𝑥))=𝑓−1(2𝑥+3)=2𝑥+3−32=2𝑥2=𝑥f−1(f( x))=f−1(2x+3)=22x+3−3​=22x​=x

Dari sini, terlihat bahwa 𝑓(𝑓−1(𝑥))=𝑥f(f−1(x))=x dan 𝑓−1(𝑓(𝑥))=𝑥f−1(f(x))=x, yang menunjukkan hubungan erat antara fungsi komposisi dan fungsi invers.

Penerapan Fungsi Komposisi Invers

Pemecahan Masalah Kompleks: Fungsi komposisi dan invers sering digunakan untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks dengan memecahnya menjadi langkah-langkah yang lebih sederhana. Contohnya, dalam pengolahan sinyal, sinyal asli dapat diubah melalui serangkaian transformasi (fungsi komposisi), dan untuk mendapatkan kembali sinyal asli dari sinyal yang telah diolah, digunakan fungsi invers.

1. Kriptografi

Dalam kriptografi, enkripsi dan dekripsi sering kali melibatkan fungsi komposisi dan invers. Proses enkripsi dapat dianggap sebagai aplikasi dari beberapa fungsi komposisi pada data asli untuk menghasilkan data terenkripsi. Dekripsi melibatkan penggunaan fungsi invers dari setiap fungsi komposisi yang diterapkan selama enkripsi untuk mendapatkan kembali data asli.

2. Pemrograman dan Algoritma

Banyak pemrograman algoritma menggunakan fungsi komposisi dan invers untuk berbagai tujuan, seperti pemrosesan data dan penyelesaian masalah algoritmik. Misalnya, dalam pemrograman fungsional, fungsi sering dikomposisikan untuk membangun operasi yang lebih kompleks, dan fungsi inversi dapat digunakan untuk titik lemah dari operasi tertentu.

3. Grafik dan Transformasi Geometris

Dalam grafik komputer, transformasi geometris seperti translasi, rotasi, dan skala dapat direpresentasikan sebagai fungsi komposisi. Untuk kegunaan transformasi ini, digunakan fungsi invers. Misalnya, jika sebuah objek digeser dan kemudian diputar, untuk mengembalikannya ke posisi semula, diperlukan fungsi invers dari rotasi dan kemudian translasi.

Contoh Kasus

Sebagai contoh praktis, misalkan kita memiliki fungsi suhu 𝑓f yang mengubah suhu dari Celsius ke Fahrenheit, 𝑓(𝑥)=95𝑥+32f(x)=59​x+32. Fungsi invers 𝑓−1f−1 yang mengubah suhu dari Fahrenheit ke Celcius adalah 𝑓−1(𝑥)=59(𝑥−32)f−1(x)=95​(x−32). Jika kita ingin mengetahui suhu dalam Celsius ketika suhu Fahrenheit adalah 98, kita menggunakan fungsi invers:

𝑓−1(98)=59(98−32)=59×66=36,67f−1(98)=95​(98−32)=95​×66=36,67

Penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers sangat luas dan mencakup berbagai bidang ilmu dan teknologi. Dari matematika murni hingga aplikasi praktis dalam pemrograman, kriptografi, dan grafik komputer, pemahaman dan penggunaan konsep ini memungkinkan kita untuk memecahkan masalah yang kompleks dan melakukan transformasi data dengan efisien.

Memahami bagaimana fungsi ini bekerja dan bagaimana mereka dapat digunakan dalam berbagai konteks adalah keterampilan yang sangat berharga di era informasi teknologi dan komputasi saat ini.

Soal Fungsi Komposisi Invers

Sumber: Freepik

1. Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 dan 𝑔(𝑥)=𝑥−1g(x)=x−1, maka nilai (𝑓∘𝑔)(2)(f∘g)(2 ) adalah…

a) 3

b) 5

c)7

d)9

Pembahasan:

(𝑓∘𝑔)(2)=𝑓(𝑔(2))(f∘g)(2)=f(g(2)) 𝑔(2)=2−1=1g(2)=2−1= 1

𝑓(1)=2(1)+3=5f(1)=2(1)+3=5

Jawaban: B.5

2. Jika 𝑓(𝑥)=3𝑥−4f(x)=3x−4 dan 𝑔(𝑥)=𝑥+43g(x)=3x+4​, maka (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x ) adalah…

a) 𝑥x

b) 𝑥+4x+4

c) 3𝑥−43x−4

d) 𝑥−4x−4

Pembahasan:

(𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))(f∘g)(x)=f(g(x))

𝑔(𝑥)=𝑥+43g(x)=3x+4 𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥+43)f(g(x))=f(3x+4​) =3(𝑥+43 )−4=3(3x+4​)−4 =𝑥+4−4=x+4−4 =𝑥=x

Jawaban : A. 𝑥x

3. Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥−1f(x)=2x−1 dan 𝑓−1(𝑥)f−1(x) adalah fungsi invers dari 𝑓(𝑥)f(x), maka 𝑓−1(𝑥)f −1(x) adalah…

a) 𝑥+122x+1​

b) 𝑥−122x−1​

c) 2𝑥+12x+1

d) 2𝑥−1222x−1​

Pembahasan: Misalkan 𝑦=2𝑥−1y=2x−1, maka: 𝑦+1=2𝑥y+1=2x 𝑥=𝑦+12x=2y+1​ Sehingga 𝑓−1(𝑥)=𝑥+12f−1(x) =2x+1​

Jawaban : A. 𝑥+122x+1​

4. Jika 𝑓(𝑥)=𝑥2+2f(x)=x2+2 dan 𝑔(𝑥)=𝑥−2g(x)=x−2​, maka nilai (𝑔∘𝑓)(3)(g∘f)( 3) adalah…

a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

Pembahasan: (𝑔∘𝑓)(3)=𝑔(𝑓(3))(g∘f)(3)=g(f(3))

𝑓(3)=32+2=11f(3)=32+2=11 𝑔(11)=11−2=9=3g(11)=11−2​=9​=3

Jawaban: A.3

5. Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥+1f(x)=2x+1 dan 𝑔(𝑥)=3𝑥−2g(x)=3x−2, maka (𝑔∘𝑓)(𝑥)(g∘f)(x) adalah…

a) 6𝑥+16x+1

b) 6𝑥−16x−1

c) 6𝑥+56x+5

d) 6𝑥−36x−3

Pembahasan: (𝑔∘𝑓)(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥))(g∘f)(x)=g(f(x))

𝑓(𝑥)=2𝑥+1f(x)=2x+1 𝑔(2𝑥+1)=3(2𝑥+1)−2g(2x+1)=3(2x+1)−2 =6𝑥+3−2 =6x+3−2 =6𝑥+1=6x+1

Jawaban: A.6𝑥+16x+1

6. Jika 𝑓(𝑥)=𝑥+2f(x)=x+2 dan 𝑔(𝑥)=𝑥2g(x)=x2, maka (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x) adalah…

a) 𝑥2+2×2+2

b) 𝑥2+4×2+4

c) 𝑥2+𝑥+2×2+x+2

d) 𝑥2−2×2−2

Pembahasan: (𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))(f∘g)(x)=f(g(x))

𝑔(𝑥)=𝑥2g(x)=x2 𝑓(𝑥2)=𝑥2+2f(x2)=x2+2

Jawaban : A. 𝑥2+2×2+2

7. Jika 𝑓(𝑥)=3𝑥+5f(x)=3x+5 dan 𝑔(𝑥)=𝑥−53g(x)=3x−5​, maka (𝑓∘𝑔)(𝑥)(f∘g)(x ) adalah…

a) 𝑥x

b) 𝑥−5x−5

c) 3𝑥+53x+5

d) 𝑥+5x+5

Pembahasan: (𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))(f∘g)(x)=f(g(x))

𝑔(𝑥)=𝑥−53g(x)=3x−5​ 𝑓(𝑥−53)=3(𝑥−53)+5f(3x−5​)=3(3x−5​)+5 =𝑥− 5+5=x−5+5 =𝑥=x

Jawaban : A. 𝑥x

8. Jika 𝑓(𝑥)=2𝑥+3f(x)=2x+3 dan 𝑔(𝑥)=4𝑥−1g(x)=4x−1, maka (𝑓∘𝑔−1)(𝑥)(f∘g−1 )(x) adalah…

a) 𝑥+144x+1​

b) 𝑥−144x−1​

c) 𝑥+322x+3​

d) 𝑥+722x+7

Pembahasan: Pertama, cari invers dari 𝑔(𝑥)g(x): 𝑦=4𝑥−1y=4x−1 𝑦+1=4𝑥y+1=4x 𝑥=𝑦+14x=4y+1​

Sehingga 𝑔−1(𝑥)=𝑥+14g−1(x)=4x+1​

Kemudian, (𝑓∘𝑔−1)(𝑥)=𝑓(𝑥+14)(f∘g−1)(x)=f(4x+1​)

=2(𝑥+14)+3=2(4x+1​)+3

=2(𝑥+1)4+3=42(x+1)​+3

=𝑥+12+3=2x+1​+3

=𝑥+1+62=2x+1+6​ =𝑥+72=2x+7​

Jawaban yang benar adalah 😀

9. Jika 𝑓(𝑥)=4𝑥+7f(x)=4x+7 dan 𝑔(𝑥)=2𝑥−5g(x)=2x−5, maka 𝑓−1(𝑔(𝑥))f−1(g(x )) adalah…

a) 𝑥−744x−7​

b) 𝑥+522x+5​

c) =𝑥−62=2x−6​

d) 𝑥+744x+7​

Pembahasan:

Pertama, cari invers dari 𝑓(𝑥)f(x): 𝑦=4𝑥+7y=4x+7 𝑦−7=4𝑥y−7=4x 𝑥=𝑦−74x=4y−7

Sehingga 𝑓−1(𝑥)=𝑥−74f−1(x)=4x−7​

Kemudian, 𝑓−1(𝑔(𝑥))=𝑓−1(2𝑥−5)f−1(g(x))=f−1(2x−5)

=2𝑥−5−74=42x−5−7​ =2𝑥−124=42x−12​ =2(𝑥−6)4=42(x−6)​ =𝑥−62=2x−6​

Jawaban: C

10 Jika 𝑓(𝑥)=𝑥2f(x)=x2 dan 𝑔(𝑥)=𝑥g(x)=x​, maka 𝑔(𝑓(𝑥))g(f(x)) adalah…

a) 𝑥x

b) 𝑥2×2

c) ∣𝑥∣∣x∣

d) 𝑥x​

Pembahasan: 𝑔(𝑓(𝑥))=𝑔(𝑥2)g(f(x))=g(x2) =𝑥2=x2​ =∣𝑥∣=∣x∣

Jawaban: C.∣𝑥∣∣x∣

Jadi, apa lagi yang ditunggu? Hubungi kami segera di line telepon     (021) 77844897     atau kamu juga bisa menghubungi kami melalui     0896-2852-2526    . Atau klik     www.simakui.id     untuk mendapatkan informasi lebih lanjut.

Sampai bertemu di SIMAK UI

Referensi :

1. Kumparan.com
2. Okezone.com